Cálculos de inductores de condensadores

Los inductores se pueden imaginar como lo opuesto a los condensadores. La principal diferencia entre un capacitor y un inductor es que un capacitor lleva un dieléctrico protector entre sus placas, lo que inhibe la conducción de corriente a través de sus terminales. Aquí actúa como un circuito abierto.

Por otro lado, la inductancia de un inductor es normalmente (aunque no siempre) de resistencia increíblemente baja o mínima. Básicamente se comporta como un circuito cerrado.

Dualidad del inductor del condensador

Existe un término único en electrónica para este tipo de relación entre dos parámetros de un circuito o partes de un circuito. Los elementos de este tipo de par se conocen como duales el uno del otro . Por ejemplo, dependiendo de la capacidad para conducir corriente, un circuito abierto es el dual de un circuito cerrado.

Según el mismo principio, un inductor es el dual de un condensador. La dualidad de inductores y condensadores es mucho más profunda que la capacidad natural de conducir corriente.

En este artículo, comparamos el principio de funcionamiento del inductor y el condensador y evaluamos los resultados con cálculos y fórmulas.

A pesar del hecho de que los inductores normalmente se ven raramente en circuitos electrónicos, ya que hoy en día se sustituyen principalmente por amplificadores operacionales en filtros activos), las otras partes involucradas en un circuito parecen transportar cierta cantidad de inductancia.

La autoinductancia de los terminales de un condensador o resistencia se convierte en un gran problema en los circuitos de alta frecuencia, lo que explica por qué los condensadores y resistencias de montaje en superficie sin cables se emplean con tanta frecuencia en tales aplicaciones.

Ecuaciones básicas de condensadores

La ecuación fundamental para los condensadores es aquella con la que se define el faradio:

C = Q / I [Ecuación 19]

donde C es la capacitancia en faradios, Q es la carga en culombio y U es el pd entre las placas en voltios.

Mediante Eq. 19, obtenemos una fórmula de la forma Q = ∫ I dt + c donde c es la carga inicial, si está disponible. Habiendo identificado Q, podemos determinar U a partir de la ecuación. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C [Ecuación 21]

Una característica importante de un capacitor puede ser así, si se le aplica una corriente periódica (generalmente una corriente que oscila sinusoidalmente), la carga en el capacitor y el voltaje a través de él también fluctúan sinusoidalmente.

La curva de carga o voltaje es una curva de coseno negativa, o podemos imaginarla como una curva de seno que se retrasa con respecto a la curva de corriente en Pi / 2 funcionamiento (90 °).

La ecuación fundamental que define a Henry, la unidad de inductancia, es

L = NΦ / I [Ecuación 22]

Con referencia a una sola bobina, la autoinductancia en Henry puede ser la relación de fl ujo (el fl ujo magnético<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Ecuación 23]

Lo que sugiere esta ecuación es el hecho de que la fem. inducido dentro de un inductor es relativo a la tasa de cambio vinculada del fl ujo.

Cuanto más rápido varía el fl ujo, mayor es la fem inducida. Por ejemplo, cuando el flujo sobre el inductor o la bobina aumenta a razón de 2 mWb s^-1, y asumiendo que la bobina tiene VEINTICINCO vueltas, entonces U = 25x2 = 50V.

El camino de la e.m.f. es tal que resiste las variaciones de flujo como se indica en la Ley de Lenz.

Esta verdad a menudo se señala anteponiendo el lado derecho de la ecuación con un signo menos, sin embargo, siempre que creamos que U es la e.m.f. posterior, el signo podría eliminarse.

Diferenciales

El término dΦ / dt en la ecuación. 23 indica lo que aprendimos como la tasa de cambio del fl ujo. La frase se llama diferencial de Φ con respecto a t, y toda una rama de la aritmética se dedica a trabajar con este tipo de expresiones. La frase tiene la forma de un solo número (dΦ) dividido por una cantidad más (dt).

Los diferenciales se utilizan para asociar numerosos conjuntos de proporciones: dy / dx, por ejemplo, correlaciona las variables x e y. Cuando se traza un gráfico usando valores de x en el eje horizontal y valores de y en el eje vertical, dy / dx significa qué tan empinada es la pendiente, o gradiente, del gráfico.

Si U es el voltaje de fuente de puerta FET, donde T es la corriente de drenaje relacionada, entonces dI / dU significa la cantidad con la que I cambia para cambios dados en U. Alternativamente, podemos decir, dI / dU es la transconductancia. Al hablar de inductores, dΦ / dt podría ser la tasa de cambio de fl ujo con el tiempo.

El cálculo de un diferencial puede considerarse como el procedimiento inverso de integración. No hay espacio suficiente en este artículo para analizar la teoría de la diferenciación, sin embargo, definiremos una tabla de cantidades de uso común junto con sus diferenciales.

Diferenciales estándar

La tabla anterior funciona utilizando I y t como factores en lugar de la rutina x e y. De modo que sus detalles sean específicamente pertinentes a la electrónica.

Como ejemplo, considerando que I = 3t +2, la forma en que I se desvía con respecto al tiempo se puede visualizar en la gráfica de la figura 38. Para encontrar la tasa de cambio de I en cualquier momento, estimamos dI / dt, por refiriéndose a la tabla.

El primer elemento de la función es 3t o, para formatearlo como la primera línea de la tabla, 3t¹. Si n = 1, el diferencial es 3t^1-1= 3t⁰.

Desde t⁰= 1, el diferencial es 3.

La segunda cantidad es 2, que se puede expresar como 2t⁰.

Esto cambia n = 0 y la magnitud del diferencial es cero. El diferencial de una constante será siempre cero. Combinando ambos, tenemos:

dI / dt = 3

En esta ilustración, el diferencial no incluye t, lo que significa que el diferencial no depende del tiempo.

En pocas palabras, la pendiente o pendiente de la curva de la Fig. 38 es 3 continuamente todo el tiempo. La Figura 39 a continuación muestra la curva para una función diferente, I = 4 sin 1.5t.

Con referencia a la tabla, α = 1.5 yb = 0 en esta función. La tabla muestra, dl / dt = 4x1.5cos1.5t = 6cos 1.5t.

Esto nos informa la tasa instantánea de cambio de I. Por ejemplo, en t = 0.4, dI / dt = 6cos0.6 = 4.95. Esto se puede observar en la figura 39, en la que la curva para 6 cos0.6t incluye el valor 4.95 cuando t = 0.4.

También podemos observar que la pendiente de la curva 4sin1.5t es 4.95 cuando t = 0.4, como lo muestra la tangente a la curva en ese punto, (con respecto a las diferentes escalas en los dos ejes).

Cuando t = π / 3, un punto en el que la corriente está en su nivel más alto y constante, en este caso dI / dt = 6cos (1.5xπ / 3): 0, correspondiente al cambio cero de la corriente.

Por el contrario, cuando t = 2π / 3 y la corriente está cambiando al nivel más alto posible de positivo a negativo, dI / dt = 6cosπ = -6, vemos su valor negativo más alto, exhibiendo una alta reducción de corriente.

El simple beneficio de los diferenciales es que nos permiten determinar tasas de cambio para funciones que son mucho más complejas en comparación con I = 4s en 1.5t, y sin tener que trazar las curvas.

Volver a cálculos

Al reorganizar los términos en la ecuación 22 obtenemos:

Φ = (L / N) I [Ecuación 24]

Donde L y N tienen dimensiones constantes, pero Φ y yo podemos tener un valor con respecto al tiempo.

Diferenciar los dos lados de la ecuación con respecto al tiempo da:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Eq. 25]

La fusión de esta ecuación con la ecuación 23 da:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Ecuación 26]

Esta es otra forma de expresar la henry . Podemos decir que, una bobina que tiene una autoinductancia de 1 H, un cambio de corriente de 1 A s^-1genera una fem trasera de 1 V. Dada una función que define cómo varía una corriente con el tiempo, la Ec. 26 nos ayuda a calcular la fem trasera de un inductor en cualquier instante.

A continuación se muestran algunos ejemplos.

A) I = 3 (una corriente constante de 3 A) dl / dt = 0. No puede encontrar ningún cambio de corriente, por lo tanto, la e.m.f trasera. es cero.

B) I = 2t (una corriente de rampa) dI / dt = 2 A s^-1. Con una bobina que lleva L = 0,25 H, la fem trasera. será constante a 0.25x2 = 0.5 V.

C) I = 4sin1.5t (la corriente sinusoidal dada en la ilustración anterior dl / dt = 6cos 1.5t. Dada una bobina con L = 0.1 H, la fem trasera instantánea es 0.6cos1.5t. La fem trasera sigue la curva diferencial de la Fig.39, pero con una amplitud de 0,6 V en lugar de 6 A.

Entendiendo los 'duales'

Las siguientes dos ecuaciones significan la ecuación de un condensador y un inductor respectivamente:

Nos ayuda a determinar el nivel de voltaje producido en el componente por la corriente que varía en el tiempo según una función específica.

Evaluemos el resultado obtenido por diferenciando los lados L y H de la ecuación 21 con respecto al tiempo.

dU / dt = (1 / C) I

Como sabemos, la diferenciación es la inversa de la integración, la diferenciación de ∫I dt invierte la integración, con solo I como resultado.

Diferenciar c / C da cero y reorganizar los términos produce lo siguiente:

I = C.dU / dt [Ecuación 27]

Esto nos permite conocer la dirección de la corriente, ya sea que vaya hacia el condensador o salga de él, en respuesta a una tensión que varía según una función determinada.

Lo interesante es que lo anterior ecuación de corriente del condensador parece similar a la ecuación de voltaje (26) de un inductor, que exhibe el capacitancia, dualidad de inductancia.

De manera similar, la diferencia de corriente y potencial (pd) o la tasa de cambio de la corriente y pd pueden ser duales cuando se aplican a condensadores e inductores.

Ahora integremos la ecuación 26 con respecto al tiempo para completar la ecuación quatret:

∫ U dt + c = LI

La integral de dI / dt es = I, reorganizamos las expresiones para obtener:

I = 1 / L∫ U dt + e / L

De nuevo, esto se parece bastante a la ecuación 21, lo que demuestra aún más la naturaleza dual de la capacitancia y la inductancia, y su pd y corriente.

A estas alturas tenemos un conjunto de cuatro ecuaciones que se pueden usar para resolver problemas relacionados con el condensador y el inductor.

Por ejemplo, la ecuación 27 se puede aplicar para resolver el problema como este:

Problema: Un pulso de voltaje aplicado a través de 100uF produce una curva como se muestra en la Fig. A continuación.

Esto se puede definir utilizando la siguiente función por partes.

Calcule la corriente que se mueve a través del capacitor y trace los gráficos correspondientes.

Solución:

Para la primera etapa aplicamos la ecuación 27.

I = C (dU / dt) = 0

Para el segundo caso donde U puede estar aumentando con una tasa constante:

I = C (dU / dt) = 3C = 300μA

Esto muestra una corriente de carga constante.

Para la tercera etapa cuando U cae de manera exponencial:

Esto indica que la corriente fluye desde el capacitor en una tasa decreciente exponencial.

Relación de fase

En la figura anterior, se aplica un pd alterno a un inductor. Este pd en cualquier instante se puede expresar como:

Donde Uo es el valor pico del pd. Si analizamos el circuito en forma de bucle y aplicamos la ley de voltaje de Kirchhoff en el sentido de las agujas del reloj, obtenemos:

Sin embargo, dado que la corriente es sinusoidal aquí, los términos en el corchete deben tener el valor igual a la corriente pico Io, por lo que finalmente obtenemos:

Si comparamos la ecuación 29 y la ecuación 30, encontramos que la corriente I y el voltaje U tienen la misma frecuencia, y que I va por detrás de U en π / 2.

Las curvas resultantes se pueden estudiar en el siguiente diagrama:

C

Esto muestra la relación de contraste entre el condensador y el inductor. Para un inductor, la corriente se retrasa la diferencia de potencial en π / 2, mientras que para un condensador, la corriente adelanta al pd. Esto demuestra una vez más la naturaleza dual de los dos componentes.